Famille d'entiers divisibles par 15 - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Démontrer que \(N=n(n^4-1)\) est divisible par \(15\) .

Solution

Remarquons que \(15=3 \times 5\)  avec  \(3\) et \(5\)  premiers entre eux.

Montrons que \(N\) est divisible par \(3\) .  
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline n \equiv ... \ [3]&0&1&2\\ \hline n^4 \equiv ... \ [3]& 0&1&1\\ \hline n(n^4-1) \equiv ... \ [3]& 0&0&0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)   

Montrons que \(N\) est divisible par \(5\) .  
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv ... \ [5]&0&1&2&3&4\\ \hline n^4 \equiv ... \ [5]& 0&1&1&1&1\\ \hline n(n^4-1) \equiv ... \ [5]& 0&0&0&0&0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)   

Comme \(3\) et \(5\) sont premiers entre eux, d'après le corollaire du théorème de Gauss, \(N\) est divisible par \(3 \times 5=15\) .